低温测量相关的传热问题

发表于： 2022-07-29 更新于： 2022-08-07 分类于：热力学

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本文讨论低温测量中的传热问题。

参考文献：

导师做的组会PPT.
Jack W. Ekin., 2006, “Experimental Techniques for Low-Temperature Measurements: Cryostat Design, Material Properties and Superconductor Critical-Current Testing”. United States.

参考文献：付柏山, 廖奕, 周俊. 稀释制冷机及其中的热交换问题. 物理学报, 2021, 70(23): 230202. doi: 10.7498/aps.70.20211760

稀释制冷机在0K时分成稀相与浓相两层：

$$ \text{传热}\begin{cases}\text{热传导(conductive heat transfer)}\quad\text{固体}\\ \text{热对流(convective heat transer)}\quad\text{液体和气体}\\ \text{热辐射(radiative heat transfer)}\quad\text{任何物体} \end{cases} $$

1. 热传导

用于稀释制冷机内部连接处的材料：

高电导率
低热导率

Wiedemann-Franz Law (for metals)

$$ \frac{\kappa}{\sigma}=LT $$ Lorenz number: $$ L=\frac{\pi^2}{3}(\frac{k_B}{e})^2 $$ 参考文献：Franz, R.; Wiedemann, G. (1853). “Ueber die Wärme-Leitungsfähigkeit der Metalle”. Annalen der Physik (in German). 165 (8): 497–531

不适用于超导体和微波同轴线（趋肤效应）。

热导率

热导率有电子和声子两部分的贡献。

$$ \kappa = \kappa_e + \kappa_{ph} $$

$$\kappa_e = \frac{1}{3}c_ev_Fl_e\propto T$$

$$\kappa_{ph}=\frac{1}{3}c_{ph}v_{ph}l_{ph}\propto T^3$$

Residual Resistive Ratio (RRR)

$$ \mathrm{RRR} = \frac{\rho(273 K)}{\rho(0 K)} $$

热传导功率估算

傅立叶定律

$$ \vec{q}=-\kappa \nabla T$$

对于均匀直管情况： $$\begin{align} q\mathrm{d}x&=-\kappa(T)\mathrm{d}T \\ \int_0^Lq\mathrm{d}x&=-\int_{T_1}^{T_2}\kappa(T)\mathrm{d}T \\ qL&=\int_0^{T_1}\kappa\mathrm{d}T-\int_0^{T_2}\kappa\mathrm{d}T=\Theta(T_1)-\Theta(T_2) \end{align}$$

得到热传导功率：

$$ \dot{q}=qA=\frac{A}{l}(\Theta(T_1)-\Theta(T_2)) $$

Online Calculator

Cryogenic Reference Tables

2. 热对流

气体的平均自由程可根据压强不同分成三类情况。

Regime	Pressure	Mean Free Path of the Molecules
Hydrodynamic Regime	Near Atmospheric Pressure	Limited by Collisions with Other Gas Molecules
Transition Regime	Low Pressure	$l(\mathrm{cm})=2.87\times10^{-3}T^{j+1}/P$ $j+1=1.147$ for Helium
Free Molecule Regime	Very Low Pressure	Limited by the Size of Container

常压下的热对流

两相距 $d$ ，表面积为$A$的平行平面之间的热对流功率：

$$\dot{q}_{gas}=\overline{\kappa}A\frac{\Delta T}{d}\quad(l\ll \text{dimension of container})$$

其中，$\overline{\kappa}$为平均导热率：

$$\overline{\kappa}=\Delta T^{-1}\int^{T_2}_{T_1}\kappa(T)\mathrm{d}T$$

$\Delta T \equiv T_2 -T_1$

热导率

$$ \kappa = c C_V\quad(l\ll d) $$

其中$C_V$为每克气体的等容热容；$c$为比例系数，对于常见冷却气体如氦气、氢气、氮气和氧气，其值介于 1.5 至 2.5 之间。

低压下的热对流

两同心球面或圆柱面间的热对流功率： $$ \dot{q}_{gas} = k a_0 A_i P \Delta T $$ $A_i$为内侧圆柱或球的表面积。对于氦气，氢气和空气，分别有$k=2.1, 4.4, 1.2$。

$$a_0=a_1a_2/[a_2+(A_1/A_2)(1-a_2)a_1]$$ 其中$a_1, a_2$分别为内外面的调节系数 (accormadation coefficient) ，一般在0.3至1之间，$A_1, A_2$分别为内外面的面积。

3. 热辐射

Stefen-Boltzmann Equation

单个物体的热辐射功率为： $$ \dot{q}_{rad}=\sigma\varepsilon A T^4$$

$\sigma=5.67\times10^{-8}\mathrm{W/(m^2K^4)}$。$\varepsilon$为发射率，$\varepsilon\equiv1-R_f$。

两物体之间的热辐射功率为： $$\dot{q}_{rad}=\sigma E A(T_2^4-T_1^4) $$

上式需要分情况使用：

式中项	平行平面	同轴圆柱体和同心球体
$A$	小面面积	内侧几何体表面积, $A_1$
镜面反射 $E$ ($\varepsilon\ll1, E\ll1)$	$\varepsilon_1\varepsilon_2/(\varepsilon_2+\varepsilon_1-\varepsilon_1\varepsilon_2)$	$\varepsilon_1\varepsilon_2/(\varepsilon_2+\varepsilon_1-\varepsilon_1\varepsilon_2)$
漫反射 $E$ ($\varepsilon\approx1, E\approx1)$	$\varepsilon_1\varepsilon_2/(\varepsilon_2+\varepsilon_1-\varepsilon_1\varepsilon_2)$	$\varepsilon_1\varepsilon_2/[\varepsilon_2+(A_2/A_1)(\varepsilon_1-\varepsilon_1\varepsilon_2)]$

高度抛光，高电导率的金属的发射率$\varepsilon$很小，只有约0.01。根据Drude的经典模型：

$$ \varepsilon\equiv1-R_f=365(\rho/\lambda_r)^{1/2} $$

其中$\rho$为电阻率；$\lambda_r$是辐射波长，单位为微米。

抛光能极大降低金属的发射率$\varepsilon$。

此外，$N$层金属保护层能将热辐射功率降低至约$1/(N+1)$(Scott 1963)。制冷机中常用多层（30-80层）镀铝的对苯二甲酸乙二酯薄膜（Mylar^TM）或聚酰亚胺薄膜（Kapton^TM）作为辐射隔绝层，层与层之间抽真空。

4. 液体固体界面的传热

液氦固体界面

Regime	Heat Flux	Temperatrure Difference	Heat-transfer Rate
Nonboiling Regime	$\ll 10^3\mathrm{W/m^2}$		Dominated by Convection Currents
Nucleate Boiling Regime	$\sim 10^3\mathrm{W/m^2}$	$\Delta T\lesssim 0.5\mathrm{K}$	$\dot{q}/A\simeq6\times10^4\Delta T^{2.5}$ (Atmospheric Pressure) $\dot{q}/A\gtrsim1\times10^4\Delta T^{2.5}$ (Schmidt 1981)
Film Boiling Regime	$\gtrsim 10^4\mathrm{W/m^2}$	$\Delta T\gtrsim10\mathrm{K}$ (Depending on the Geometry of the Solid)

热流密度在$10^4\mathrm{W/m^2}$以下的冷却效果比较好。

液氦固体界面

Regime	Heat Flux	Temperatrure Difference	Heat-transfer Rate
Nucleate Boiling Regime	$< 2\times10^5\mathrm{W/m^2}$	$\Delta T\lesssim 10\mathrm{K}$	$\dot{q}/A\simeq5\times10^2\Delta T^{2.5}$ (Richards et al. 1961)
Film Boiling Regime	$\gtrsim 2\times10^5\mathrm{W/m^2}$	$\Delta T\gtrsim100\mathrm{K}$ (Depending on the Geometry of the Solid)

热流密度在$2\times10^5\mathrm{W/m^2}$以下的冷却效果比较好。

5. 固体界面的传热

在处理热锚定时，需要考虑固体界面的传热。

由于晶格运动，Wiedemann-Franz Law不适用。

固体连接处有焊接接头（solder joints）和漆接接头、胶接接头（varnish and glue joints），前者的导热性能一般优于后者。

在连接处施加压力能提高传热性能，大致随压力线性提升，具体由经验公式给出。

6. 固体气体界面的传热

当冷却剂在冷却温度为固体时，需要考虑固体气体界面的传热。

$$\dot{q}_{conv}=hA\Delta T$$

$h$为对流传热系数，$A$为固体表面积。

对于氦气和氮气，液体的冷却效果比气体的冷却效果好了几个数量级。

式中项	平行平面	同轴圆柱体和同心球体
\(A\)	小面面积	内侧几何体表面积, \(A_1\)
镜面反射 \(E\) (\(\varepsilon\ll1, E\ll1)\)	\(\varepsilon_1\varepsilon_2/(\varepsilon_2+\varepsilon_1-\varepsilon_1\varepsilon_2)\)	\(\varepsilon_1\varepsilon_2/(\varepsilon_2+\varepsilon_1-\varepsilon_1\varepsilon_2)\)
漫反射 \(E\) (\(\varepsilon\approx1, E\approx1)\)	\(\varepsilon_1\varepsilon_2/(\varepsilon_2+\varepsilon_1-\varepsilon_1\varepsilon_2)\)	\(\varepsilon_1\varepsilon_2/[\varepsilon_2+(A_2/A_1)(\varepsilon_1-\varepsilon_1\varepsilon_2)]\)

Regime	Heat Flux	Temperatrure Difference	Heat-transfer Rate
Nonboiling Regime	\(\ll 10^3\mathrm{W/m^2}\)		Dominated by Convection Currents
Nucleate Boiling Regime	\(\sim 10^3\mathrm{W/m^2}\)	\(\Delta T\lesssim 0.5\mathrm{K}\)	\(\dot{q}/A\simeq6\times10^4\Delta T^{2.5}\) (Atmospheric Pressure) \(\dot{q}/A\gtrsim1\times10^4\Delta T^{2.5}\) (Schmidt 1981)
Film Boiling Regime	\(\gtrsim 10^4\mathrm{W/m^2}\)	\(\Delta T\gtrsim10\mathrm{K}\) (Depending on the Geometry of the Solid)

Regime	Heat Flux	Temperatrure Difference	Heat-transfer Rate
Nucleate Boiling Regime	\(< 2\times10^5\mathrm{W/m^2}\)	\(\Delta T\lesssim 10\mathrm{K}\)	\(\dot{q}/A\simeq5\times10^2\Delta T^{2.5}\) (Richards et al. 1961)
Film Boiling Regime	\(\gtrsim 2\times10^5\mathrm{W/m^2}\)	\(\Delta T\gtrsim100\mathrm{K}\) (Depending on the Geometry of the Solid)