本文主要讨论测不准关系的证明。

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方法一

定义： $$\ket{\psi’}=(\xi \hat{F’}+i\hat{G’})\ket{\psi}$$

  其中有\(\hat{F’}=\hat{F}-\langle \hat{F}\rangle \)，\(\hat{G’}=\hat{G}-\langle \hat{G}\rangle \)。\(\hat{F}\),\(\hat{G}\)是观测量，所以是厄米算符。

计算\(\braket{\psi|\hat{F’}^2|\psi} \)：

$$\begin{align} \braket{\psi|\hat{F’}^2|\psi}&=\braket{\psi|\hat{F}^2-2\langle\hat{F}\rangle\hat{F}+\langle\hat{F}\rangle^2|\psi}\\ &=\langle\hat{F}^2\rangle-\langle\hat{F}\rangle^2\\ &=\Delta F^2\end{align}$$

同理， $$\braket{\psi|\hat{G’}^2|\psi}=\Delta G^2$$

根据内积的半正定性： $$\begin{align} \braket{\psi’|\psi’}&=\braket{\psi|(\xi \hat{F’}-i\hat{G’})(\xi \hat{F’}+i\hat{G’})|\psi}\\ &=\xi^2\Delta F^2+i\xi\langle[\hat{F},\hat{G}]\rangle+\Delta G^2\ge0 \end{align}$$

上式对任何\(\xi\)都成立，所以有： $$-\langle[\hat{F},\hat{G}]\rangle^2-4\Delta F^2\Delta G^2\le0$$

其中\(i[\hat{F},\hat{G}]\)为厄米算符： $$(i[\hat{F},\hat{G}])^\dagger=(i\hat{F}\hat{G}-i\hat{G}\hat{F})^\dagger=-i\hat{G}\hat{F}+i\hat{F}\hat{G}=i[\hat{F},\hat{G}]$$

所以，\(\langle[\hat{F},\hat{G}]\rangle\)为纯虚数，即 $$|\langle[\hat{F},\hat{G}]\rangle|^2-4\Delta F^2\Delta G^2\le0$$

$$\Delta F^2\Delta G^2\ge\frac{|\langle[\hat{F},\hat{G}]\rangle|^2}{4}$$

方法二 Robertson-Schrödinger Relation

  方法二使用Schwarz不等式，推导的不等式下限高于Heisenberg的测不准原理。

定义： $$\ket{f}=(\hat{A}-\langle \hat{A}\rangle)\ket{\psi}$$ $$\ket{g}=(\hat{B}-\langle \hat{B}\rangle)\ket{\psi}$$

易得： $$\braket{f|f}=\Delta A^2$$ $$\braket{g|g}=\Delta B^2$$

$$\braket{f|g}=\frac{\braket{f|g}+\braket{g|f}}{2}+\frac{\braket{f|g}-\braket{g|f}}{2}\tag{1}$$

计算\(\braket{f|g}\),\(\braket{g|f}\)分别得到： $$\braket{f|g}=\langle BA \rangle-\langle A\rangle\langle B\rangle$$ $$\braket{g|f}=\langle AB \rangle-\langle A\rangle\langle B\rangle$$

于是有 $$\braket{f|g}+\braket{g|f}=\langle \{A,B\} \rangle-2\langle A\rangle\langle B\rangle$$ $$\braket{f|g}-\braket{g|f}=\langle [A,B] \rangle$$

前者为实数，后者为虚数，因此(1)式可以更改为： $$|\braket{f|g}|^2=\frac{|\langle \{A,B\} \rangle-2\langle A\rangle\langle B\rangle|^2}{4}+\frac{|\langle [A,B] \rangle|^2}{4}$$

根据Schwarz不等式： $$\braket{f|f}\braket{g|g}\ge|\braket{f|g}|^2$$

可以得到： $$\Delta A^2\Delta B^2\ge\frac{|\langle \{A,B\} \rangle-2\langle A\rangle\langle B\rangle|^2}{4}+\frac{|\langle [A,B] \rangle|^2}{4}\ge\frac{|\langle [A,B] \rangle|^2}{4}$$

上式被称为 Robertson-Schrödinger 关系。