超导唯象理论

发表于： 2022-10-04 更新于： 2022-10-05

字数：1167 阅读：≈ 3分钟浏览：

本文主要讨论London方程，Pippard理论和Ginzburg-Landau(GL)理论。

本文还未引入Cooper对的概念，实际使用时，需要将$e,m$修正为$2e,2m$。

参考文献：

张裕恒，超导物理

London方程

$$ \frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{j}_s=\frac{n_se^2}{m}\boldsymbol{E}\tag{London-I} $$

$$ \boldsymbol{B}=-\frac{m}{n_se^2}\nabla\times\boldsymbol{j}_s\tag{London-II} $$

穿透深度

$$ \lambda_L=\sqrt{\frac{m}{\mu_0n_se^2}} $$

Pippard方程

$$ \boldsymbol{j}_s(\boldsymbol{r})=-\frac{3}{4\pi\xi_0}\frac{1}{\mu_0\lambda_L^2}\int\frac{\boldsymbol{R}}{R^4}[\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}’)]e^{-R/\xi_p}\mathrm{d}V $$

其中$\boldsymbol{R}=\boldsymbol{r}’-\boldsymbol{r}$，$\xi_0$为相干长度，是超导体的常数，$\xi_p$为有效相干长度，$l$为平均自由程，满足： $$ \frac{1}{\xi_p(l)}=\frac{1}{\xi_0}+\frac{1}{\alpha l} $$

$\alpha$是数量级为1的常数。

London极限 $\xi_p\ll\lambda$

当$l$很小时： $$ \lambda=\lambda_L\left(\frac{\xi_0}{l}\right)^{\frac{1}{2}} $$

Pippard极限 $\xi_p\gg\lambda$

当$l$很大时： $$ \lambda=\left(\frac{\sqrt{3}\lambda_L^2\xi_0}{2\pi}\right)^{\frac{1}{3}} $$

Ginzburg-Landau(GL)方程

假设超导态的Gibbs自由能密度为$g_s$，正常态的自由能密度为$f_n$，超导电子波函数（序参量）$\Psi$，满足$|\Psi|^2=n_s$，根据Landau的二级相变理论，有： $$\begin{align} g_s(\boldsymbol{H}_a)=f_n(0)&+\alpha|\Psi|^2+\frac{\beta}{2}|\Psi|^4+\frac{1}{2m}|-i\hbar\nabla\Psi-e\boldsymbol{A}\Psi|^2\\ &+\frac{B^2}{2\mu_0}-\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{H}_a \end{align}$$

对$\Psi$和$A$分别变分得到： $$ \frac{1}{2m}(-i\hbar\nabla-e\boldsymbol{A})^2\Psi+\alpha\Psi+\beta|\Psi|^2\Psi=0\tag{GL I} $$

边界条件： $$ \boldsymbol{n}\cdot(-i\hbar\nabla\Psi-e\boldsymbol{A})\Psi=0 $$

以及 $$ \frac{1}{\mu_0}\nabla\times\boldsymbol{B}=\frac{\hbar e}{2im}(\Psi^*\nabla\Psi-\Psi\nabla\Psi^*)-\frac{e^2}{m}|\Psi|^2\boldsymbol{A}=\boldsymbol{j}_s\tag{GL II} $$

边界条件： $$ \boldsymbol{n}\times(\frac{\boldsymbol{B}}{\mu_0}-\boldsymbol{H}_a)=0 $$

GL穿透深度

定义GL穿透深度 $$ \lambda=\frac{1}{H_a}\int^\infty_0H(x)\mathrm{d}x $$

推导可以得到，在弱场（$H_a\ll H_c$）条件下，有： $$ \lambda(T,H_a)=\lambda_0(T)\left[1+\frac{\kappa(\kappa+2\sqrt{2})}{8(\kappa+\sqrt{2})^2}\left(\frac{H_a}{H_c}\right)^2\right] $$

在高$\kappa$（$\kappa\gg1$）条件下有： $$ \lambda(T,H_a)=\frac{\sqrt{2}\lambda_0(T)}{\sqrt{1+\sqrt{1-\left(\frac{H_a}{H_c}\right)^2}}} $$

其中， $$ \lambda_0(T)=\sqrt{\frac{m}{\mu_0e^2|\Psi|^2}} $$

$$ \kappa=\frac{\lambda_0(T)}{\xi(T)} $$

GL相干长度

定义GL相干长度 $$ \xi^2(T)=\frac{\hbar^2}{2m|\alpha(T)|} $$

或者写成

$$ \xi^2(0)=\frac{\hbar^2}{2m|\alpha(0)|} $$

$$ \xi(T)=\xi(0)\left|\frac{T_c}{T_c-T}\right|^{\frac{1}{2}} $$

三个方程的异同

	London方程	Pippard方程	GL方程
适用条件	1. 弱磁场 $\boldsymbol{H}_a\ll\boldsymbol{H}_c(T)$ 2. 均匀超导体即$n_s$与$\boldsymbol{r}$无关 3. $\xi_p=0$	1. 弱磁场 $\boldsymbol{H}_a\ll\boldsymbol{H}_c(T)$ 2. 均匀超导体即$n_s$与$\boldsymbol{r}$无关	1. $\xi(T)\gg\xi_p$ 2. $\lambda(T)\gg\xi_p$ 两个条件等价于 $(T_c-T)\ll T_c$
物理意义	刚性局域方程 GL方程的弱场近似	非局域方程	局域方程
$\lambda$与$\boldsymbol{H}_a$的关系	无法解释	无法解释	可以解释
界面能$\sigma_{ns}$	一定为负无法解释Meissner态	可正可负可以解释Meissner态	可正可负可以解释Meissner态将超导体按界面能正负分成两类

London方程：刚性局域方程，成功解释超导体电流在距表面$\lambda_L$的范围内流动。

Pippard方程：非局域方程，引入非局域解释以及相干长度$\xi_p$，解决London方程的负界面能问题。

GL方程：局域方程，解决了超导唯象方程只适用于弱场的问题，将超导体按界面能正负分成两类。

穿透深度和相干长度

穿透深度$\lambda$：磁场浸入超导体的深度。

相干长度$\xi$：超导有序度的变化范围，热力学函数在这个空间范围内发生改变；在GL理论中，还代表$\Psi$变化的特征长度和出现超导区的范围。

klucas 的个人网站