超算符和对应的算符和
本文主要讨论超算符和对应的算符和表示。
超算符和算符和表示
类似泛函，超算符在空间\(H_A\)内把密度矩阵\(\rho\)映射到另一个密度矩阵\(\rho’\)。 $$ \mathcal{E}(\rho)=\rho' $$
根据Kraus理论，如果超算符具有如下性质：
- 线性性 $$ \mathcal{E}(\rho_1+\rho_2)=\mathcal{E}(\rho_1)+\mathcal{E}(\rho_2) $$
- 保持厄米性 $$ \rho’\ \text{hermitian if}\ \rho\ \text{is} $$
- 保迹性 $$ \mathrm{Tr}[\rho’]=1, \text{if}\ \mathrm{Tr}[\rho]=1, $$
- 正定性 $$ \rho’\ \text{positive definite if}\ \rho\ \text{is} $$
- 完全正定性
对于任意空间的扩展， $$ \mathcal{E}\otimes I(\rho_{AB})=\rho_{AB}' $$ 超算符\(\mathcal{E}\otimes I\)都具有正定性。
具有上述性质的超算符可以写成算符和的形式，即： $$ \mathcal{E}(\rho)=\sum_iM_i\rho M_i^\dagger $$
其中\(M_i\)满足： $$ \sum_iM_i^\dagger M_i=I $$
此外，关于\(M_i\)有两条推论：
-
\(M_i\)的个数最多为\(d^2\)，\(d=\dim{H_A}\)
-
同一个超算符对应多组算符\(\{M_i\}\),\(\{N_j\}\) $$ N_j=\sum_iM_iU_{ij} $$
如何构造超算符\(\mathcal{E}\)对应的算符和形式
先介绍Choi态，定义为超算符\(\mathcal{E}\)进行空间扩展后作用在未归一的最大纠缠态上。
$$
\boxed{J(\mathcal{E})=(\mathcal{E}\otimes I)\sum_{ij}\ket{i}\bra{j}\otimes\ket{i}\bra{j}}
$$
然后将Choi态谱分解：
$$
J(\mathcal{E})=\sum_{i}\ket{\Psi_i}\bra{\Psi_i}
$$
对应有 $$ (M_i\otimes I)\ket{\Omega}=\ket{\Psi_i} $$
举个例子
写出下列超算符的算符和表示。 $$ \mathcal{E}(\rho)=p\frac{I}{d}+(1-p)\rho\tag{1} $$
上式中\(d\)是\(H_A\)的维度。应用之前的方法，可以得到： $$ \ket{\Omega}=\sum_{i=1}^d\ket{i}\otimes\ket{i} $$ $$\begin{align} J(\mathcal{E})&=(\mathcal{E}\otimes I)\ket{\Omega}\bra{\Omega}\\ &=\sum_{ij}\mathcal{E}(\ket{i}\bra{j})\otimes\ket{i}\bra{j}\\ &=p\frac{I}{d}\otimes\sum_{i}\ket{i}\bra{i}+(1-p)\sum_{ij}\ket{i}\bra{j}\otimes\ket{i}\bra{j}\\ &=\frac{p}{d}\sum_{ij}\ket{ij}\bra{ij}+(1-p)\ket{\Omega}\bra{\Omega} \end{align}$$
于是有： $$ (M_{ij}\otimes I)\ket{\Omega}=\sqrt{\frac{p}{d}}\ket{ij} $$ $$ M_{ij}=\sqrt{\frac{p}{d}}\ket{i}\bra{j},\quad i,j\in\{1,\dots,d\} $$ 以及 $$ M_0=\sqrt{1-p}I $$
超算符被写成 $$ \mathcal{E}(\rho)=\sum_{ij}M_{ij}\rho M_{ij}^\dagger +M_0\rho M_0^\dagger $$
以上讨论的超算符被称为 depolarizing channel.
一个更好的方法
其实(1)式中只有\(I\)的算符和分解是比较困难的，由于\(\mathrm{Tr}(\rho)=\sum_i\braket{i|\rho|i}=1\)，有： $$ p\frac{I}{d}=\frac{p}{d}\sum_i\ket{i}\bra{i}\sum_j\braket{j|\rho|j}=\frac{p}{d}\sum_{ij}\ket{i}\braket{j|\rho|j}\bra{i} $$
因此，一眼可以看出对应的Kraus算符为 $$ M_{ij}=\sqrt{\frac{p}{d}}\ket{i}\bra{j},\quad i,j\in\{1,\dots,d\} $$
特别的，对于\(d=2\)，\(\ket{i}\bra{j}\)可以用Pauli算符和单位算符表示，有： $$ \frac{I}{2}=\frac{\rho+X\rho X+Y\rho Y+Z\rho Z}{4} $$
于是有： $$ \mathcal{E}(\rho)=(1-\frac{3}{4}p)\rho+\frac{p}{4}(X\rho X+Y\rho Y+Z\rho Z) $$
再谈谈Choi态
作为一个学物理的，这个东西背后的数学原理非常引人入胜。
数学家把这个东西叫做Choi-Jamiolkowski isomorphism。确定了超算符的Choi态就能完全确定超算符，数学上有：
$$
\mathcal{E}(\rho)=\mathrm{Tr}_2\left[J(\mathcal{E})(I\otimes\rho^T)\right]
$$
证明如下： $$\begin{align} \mathrm{Tr}_2\left[J(\mathcal{E})(I\otimes\rho^T)\right]&=\sum_{ij}\mathrm{Tr}_2\left[\mathcal{E}(\ket{i}\bra{j})\otimes\ket{i}\bra{j}(I\otimes\rho^T)\right]\\ &=\sum_{ij}\mathcal{E}(\ket{i}\bra{j})\braket{j|\rho^T|i}\\ &=\sum_{ij}\mathcal{E}(\ket{i}\bra{j})\braket{i|\rho|j}\\ &=\mathcal{E}(\sum_{ij}\rho_{ij}\ket{i}\bra{j})\\ &=\mathcal{E}(\rho) \end{align}$$
最后一步使用了超算符的线性性。
将Choi态谱分解之后，再套用上面这个式子，即： $$ J(\mathcal{E})=\sum_i\ket{\Psi_i}\bra{\Psi_i} $$ $$\begin{align} \mathrm{Tr}_2\left[J(\mathcal{E})(I\otimes\rho^T)\right]&=\sum_i\mathrm{Tr}_2\left[\ket{\Psi_i}\bra{\Psi_i}(I\otimes\rho^T)\right] \end{align}$$
对\(\ket{\Psi_i}\)进行基矢展开： $$ \ket{\Psi_i}=\sum_{jk}(M_i)_{jk}\ket{j}\otimes\ket{k} $$
$$ (M_i)_{jk}\equiv\braket{j|M_i|k} $$
代回原式有： $$\begin{align} \mathcal{E}(\rho)=\mathrm{Tr}_2\left[J(\mathcal{E})(I\otimes\rho^T)\right]&=\sum_i\mathrm{Tr}_2\left[\ket{\Psi_i}\bra{\Psi_i}(I\otimes\rho^T)\right]\\ &=\sum_i\sum_{jkj’k’}\mathrm{Tr}_2\left[(M_i)_{jk}(M^*_i)_{j’k’}\ket{jk}\bra{j’k’}(I\otimes\rho^T)\right]\\ &=\sum_i\sum_{jkj’k’}(M_i)_{jk}(M^*_i)_{j’k’}\ket{j}\bra{j’}\braket{k’|\rho^T|k}\\ &=\sum_i\sum_{jkj’k’}(M_i)_{jk}\ket{j}\braket{k’|\rho^T|k}\bra{j’}(M^*_i)_{j’k’}\\ &=\sum_i\sum_{jkj’k’}(M_i)_{jk}\ket{j}\braket{k|\rho|k’}\bra{j’}(M^*_i)_{j’k’}\\ &=\sum_iM_i\rho M^\dagger_i \end{align}$$
于是我们证明了具有特殊性质的超算符能写成算符和的形式。
相关论文： Choi, M.-D. Completely positive linear maps on complex matrices. Linear Algebra and its Applications 10, 285–290 (1975).