量子力学中的几何相位
本文主要讨论量子力学中的几何相位。
量子态在含时Hamilton量作用下的演化
从Schrödinger方程出发： $$ i\hbar\partial_t\ket{\psi(t)}=\hat{H}(t)\ket{\psi(t)} $$
对于非简并情形，假设\(\hat{H}(t)\)的第n个本征态为\(\ket{n(t)}\)，对应本征值为\(E_n(t)\)，于是有： $$ \braket{m|i\hbar\partial_t\sum_nC_n|n}=\braket{m|\hat{H}\sum_nC_n|n}$$
等式右边有： $$ \braket{m|i\hbar\sum_n\dot{C}_n|n}+\braket{m|i\hbar\sum_nC_n|\dot{n}}=i\hbar\dot{C}_m+i\hbar\braket{m|C_m|\dot{m}}+i\hbar\sum\limits _{n\ne m}\braket{m|C_n|\dot{n}} $$
于是可以得到： $$ i\hbar\dot{C}_m+i\hbar C_m\braket{m|\dot{m}}+i\hbar\sum\limits _{n\ne m}C_n\braket{m|\dot{n}}=E_mC_m $$
引入绝热近似(adiabatic approximation)： $$ \braket{m|\dot{n}}=0 $$
于是得到： $$ i\hbar\dot{C}_m+i\hbar C_m\braket{m|\dot{m}}=E_mC_m $$
$$ C_m(t)=C_m(0)\exp(-\int_0^ti\frac{E_m}{\hbar}\mathrm{d}t)\exp(-\int_0^t\braket{m|\dot{m}}\mathrm{d}t) $$
式中右侧第一项引起的相位变化非常常见，但是第二项长期被认为是整体相位而被忽略，直到Berry提出几何相位。
几何相位
引入整体相位 (Total Phase) $$ \phi_t=\arg\braket{\psi(t_1)|\psi(t_2)} $$
动力学相位 (Dynamic Phase) $$ \phi_d=-\frac{1}{\hbar}\int_{t_1}^{t_2}\braket{\psi(\tau)|\hat{H}(\tau)|\psi(\tau)}\mathrm{d}\tau=\mathrm{Im}\int_{t_1}^{t_2}\mathrm{d}\tau\braket{\psi(\tau)|\dot{\psi}(\tau)} $$
几何相位 (Geometric Phase) $$ \phi_g=\phi_t-\phi_d=\arg\braket{\psi(t_1)|\psi(t_2)}-\mathrm{Im}\int_{t_1}^{t_2}\mathrm{d}\tau\braket{\psi(\tau)|\dot{\psi}(\tau)} $$
谐振子的几何相位
谐振子的量子态为 $$ \ket{\psi(t)}=\sum^\infty_{m=0}C_m\exp(-i\omega t(m+\frac{1}{2}))\ket{m} $$
假设经过\(t=2\pi/\omega\)的演化 $$\begin{align} \phi_g&=\arg\braket{\psi(t+2\pi/\omega)|\psi(t)}-\mathrm{Im}\int_{t}^{t+2\pi/\omega}\mathrm{d}\tau\braket{\psi(\tau)|\dot{\psi}(\tau)}\\ &=2\pi\sum^\infty_{m=0}m|C_m|^2\equiv2\pi\braket{m} \end{align}$$
二能级系统的几何相位
在之前讨论Bloch球的文章中提到， $$ \ket{\hat{n};+}=\cos\frac{\theta}{2}\ket{+}+e^{i\phi}\sin\frac{\theta}{2}\ket{-} $$
于是有： $$ \phi_g=\frac{1}{2}\cos\theta\Delta\phi-\tan^{-1}[\cos\theta\tan(\frac{\Delta\phi}{2})] $$
其中有： $$ \Delta\phi=\phi(t_2)-\phi(t_1) $$
绝热演化中的几何相位
假设系统Hamilton量含时，初识时刻为能量本征态\(\ket{n}\)，根据绝热近似，系统在\(t\)的状态为： $$ \ket{\psi(t)}=\exp[-\frac{i}{\hbar}\int^t_0\mathrm{d}\tau E_n(\tau)]\ket{n(t)} $$ 假设能量本征态具有周期性，周期为\(T\)，即 $$ \ket{n(t)}=\ket{n(t+T)} $$
于是时间演化\(t\)之后的几何相位为 $$ \phi_g^{(n)}=-\mathrm{Im}\int_{t’}^{t’+t}\mathrm{d}\tau\braket{n(\tau)|\dot{n}(\tau)} $$
假设Hamilton量依赖于参数\(\boldsymbol{R}=(R_1,R_2,\dots,R_n)\)，即 $$ H(\boldsymbol{R}(t))=H(\boldsymbol{R}(t+T)) $$
于是，\(\phi_g\)可以写成 $$\begin{align} \phi_g^{(n)}(t)&=-\mathrm{Im}\int_{t’}^{t’+t}\mathrm{d}\tau\dot{\boldsymbol{R}}(\tau)\braket{n(\tau)|\partial_{\boldsymbol{R}}|n(\tau)}\\ &=-\mathrm{Im}\int_{\boldsymbol{R}(t’)}^{\boldsymbol{R}(t’+t)}\mathrm{d}\boldsymbol{R’}\braket{n(\boldsymbol{R’})|\partial_{\boldsymbol{R}}|n(\boldsymbol{R’})} \end{align}$$
当\(t’=T\)时有： $$\begin{align} \phi_g^{(n)}&=-\mathrm{Im}\oint\mathrm{d}\boldsymbol{R}\braket{n|\partial_{\boldsymbol{R}}|n}\\ &=-\mathrm{Im}\iint_S\nabla_{\boldsymbol{R}}\times\braket{n|\partial_{\boldsymbol{R}}|n}\mathrm{d}S \end{align}$$
写了很多，愈发觉得Berry相位超出了自己的水平，更多文献请参阅：
[1] http://home.ustc.edu.cn/~lxsphys/2021-4-15/BerryPhaseChernNumber.pdf