量子力学中的测量理论
本文主要讨论量子力学中测量理论。
关于测量理论，Nielson Chuang写的比较简单；preskill的讲义的原理部分讲的比较清楚，但是preskill书中的符号用的比较奇怪。看了他讲的网课，发现他上课讲的东西和Nielson Chuang写的差不多，没有涉及太多原理的东西，所以对于好奇心不是太重的读者，看看Nielson Chuang应该就够了。
10.16 更新了直积空间构造广义算符表示的方法，和助教聊了聊，总算弄懂这个东西了。
11.22 更正了一些表述，扩充了算符维度的定义。
正交测量 （Von Neumann测量）
一组测量算符\(\{\hat{E}_a\}\)，满足半正定性、厄米性、正交性、完备性：
$$ \braket{\hat{E}_a}\ge0,\quad\hat{E}_a=\hat{E}_a^\dagger,\quad\hat{E}_a\hat{E}_b=\hat{E}_a\delta_{ab},\quad\sum_a\hat{E}_a=1 $$
密度矩阵在测量后，变成： $$ \hat{\rho}\longrightarrow\hat{E}_a\hat{\rho}\hat{E}_a $$
概率为 $$ \mathrm{P}(a)=\text{Tr}\left[\hat{\rho}\hat{E}_a\right] $$
如果不知道结果，则可以将所有可能的测量加起来： $$ \hat{\rho}\longrightarrow\sum_a\hat{E}_a\hat{\rho}\hat{E}_a $$
例子
本科期间学的都是正交测量。
Stern-Gelach中的电子自旋测量： $$ \hat{E}_\uparrow=\ket{\uparrow}\bra{\uparrow},\quad\hat{E}_\downarrow=\ket{\downarrow}\bra{\downarrow} $$
粒子数表象： $$ \hat{E}_n=\ket{n}\bra{n} $$
广义测量 （POVM测量）
直和空间的广义测量
广义测量和正交测量唯一区别就是，广义测量算符可以不正交。不正交的原因是观测者只能观测到整个系统的一部分。这么说可能有点抽象，不如看看推导和例子。
假设系统Hilbert空间可以分成两部分： $$ \mathcal{H}=\mathcal{H}_A\oplus\mathcal{H}_A^\perp $$
对应测量基矢可以分解成两个部分： $$ \ket{u_a}=\ket{\tilde{\psi}_a}+\ket{\tilde{\psi}_a^\perp} $$
于是在\(\mathcal{H}\)系统中，正交测量算符为： $$ \hat{E}_a=\ket{u_a}\bra{u_a} $$
如果观测者只能观测\(\mathcal{H}_A\)的部分，那么在他看来测量算符为： $$ \hat{F}_a=\hat{I}_A\hat{E}_a\hat{I}_A=\ket{\tilde{\psi}_a}\bra{\tilde{\psi}_a}=\lambda_a\ket{\psi_a}\bra{\psi_a} $$
\(\hat{I}_A\)是从\(\mathcal{H}\)到\(\mathcal{H}_A\)的投影算符。\(\ket{\psi_a}\)是\(\mathcal{H}_A\)中的归一态，满足： $$ \ket{\tilde{\psi}_a}=\sqrt{\lambda_a}\ket{\psi_a} $$
可以证明\(\{\hat{F}_a\}\)仍具有厄米性和归一性： $$ \hat{F}_a=\hat{F}_a^\dagger,\quad\sum_a\hat{F}_a=1_A $$
密度矩阵在广义测量后，变成： $$ \hat{\rho}\longrightarrow\sqrt{\hat{F}_a}\hat{\rho}\sqrt{\hat{F}_a} $$
概率为： $$ \mathrm{P}(a)=\text{Tr}\left[\hat{\rho}\hat{F}_a\right] $$
如果测量了但还不知道结果，则可以将密度矩阵写成： $$ \hat{\rho}\longrightarrow\sum_a\sqrt{\hat{F}_a}\hat{\rho}\sqrt{\hat{F}_a} $$
直积空间的广义测量
以上讨论的\(\hat{F}_a\)都是一维算符（one-dimensional operator），就是能写成\(\hat{F}_a=\ket{\psi}\bra{\psi}\)的形式的算符，其中\(\ket{\psi}\)是任意纯态；如果能写成\(\hat{F}_a=\sum_{i=1}^n\ket{\psi_i}\bra{\psi_i}\)，且所有纯态线性独立，则说这个算符是\(n\)维算符。
对于\(\hat{F}_a\)不一定是一维算符的情况，需要考虑整体系统所在的Hilbert空间为 $$ \mathcal{H}=\mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B $$
\(\{\hat{E}_a\}\)为\(\mathcal{H}\)中的正交测量，满足\(\sum_a\hat{E}_a=1\)，系统初态为 $$ \hat{\rho}_{AB}=\hat{\rho}_A\otimes\hat{\rho}_B $$
测量得到\(a\)的概率为 $$ \mathrm{P}(a)=\mathrm{Tr}_{AB}\left[\hat{E}_a(\hat{\rho}_A\otimes\hat{\rho}_B)\right] $$
\(AB\)系统中的末态为 $$ \hat{\rho}’_{AB}(a)=\frac{\hat{E}_a(\hat{\rho}_A\otimes\hat{\rho}_B)\hat{E}_a}{\mathrm{Tr}_{AB}\left[\hat{E}_a(\hat{\rho}_A\otimes\hat{\rho}_B)\right]} $$
\(A\)系统中的末态为 $$ \hat{\rho}’_A(a)=\mathrm{Tr}_B\left[\rho’_{AB}(a)\right]=\frac{\mathrm{Tr}_B\left[\hat{E}_a(\hat{\rho}_A\otimes\hat{\rho}_B)\hat{E}_a\right]}{\mathrm{Tr}_{AB}\left[\hat{E}_a(\hat{\rho}_A\otimes\hat{\rho}_B)\right]} $$
考虑到\(\hat{E}_a\)和\(\hat{F}_a\)作用得到结果\(a\)的概率应该是一样的： $$\begin{align} \mathrm{P}(a)=\mathrm{Tr}_{AB}\left[\hat{E}_a(\hat{\rho}_A\otimes\hat{\rho}_B)\right]&=\mathrm{Tr}_A\left[\mathrm{Tr}_B\left[\hat{E}_a(\hat{\rho}_A\otimes\hat{\rho}_B)\right]\right]\\ &=\mathrm{Tr}_A\left[\mathrm{Tr}_B\left[\hat{E}_a(\hat{I}_A\otimes\hat{\rho}_B)\cdot(\hat{\rho}_A\otimes\hat{I}_B)\right]\right]\\ &=\mathrm{Tr}_A\left[\mathrm{Tr}_B\left[\hat{E}_a(\hat{I}_A\otimes\hat{\rho}_B)\right]\cdot\hat{\rho}_A\right]\\ &=\mathrm{Tr}_A\left[\hat{F}_a\hat{\rho}_A\right] \end{align}$$
对比最后两步，得到： $$ \hat{F}_a=\mathrm{Tr}_B\left[\hat{E}_a(\hat{I}_A\otimes\hat{\rho}_B)\right] $$
这是广义测量算符的广义形式。
如何构造直积空间的广义测量？
一般的过程为，先构造直和空间内的广义测量，然后再构造直积空间内的基矢。写成数学的形式：
在直和空间内构造： $$ \ket{u_a}=\ket{\phi_a}+\ket{\phi_a^\perp}=\ket{\phi_a}+\ket{\phi_{1a}^\perp}+\dots+\ket{\phi_{(r-1)a}^\perp}\tag{1} $$
每个\(\ket{\phi_{(i-1)a}^\perp}\)都和\(\ket{\phi_a}\)具有相同的维度\(N\)。再构造直积空间的基矢： $$ \ket{\phi_a}=\ket{\phi_a}\ket{0}+\ket{\phi_{1a}^\perp}\ket{1}+\dots+\ket{\phi_{(r-1)a}^\perp}\ket{r-1}\tag{2} $$
举个例子
引入一个辅助的qubit来实现广义测量。在主空间内测量基矢为： $$ \ket{\phi_1},\ket{\phi_2},\ket{\phi_3}\doteq\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{6}}{3}\\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{6}}{6}\\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{6}}{6}\\ -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} $$
系统总维度为4维，于是进行扩展： $$ \ket{u_1},\ket{u_2},\ket{u_3},\ket{u_4}\doteq\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{6}}{3}\\ 0\\ \frac{\sqrt{3}}{3}\\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{6}}{6}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{3}\\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{6}}{6}\\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{3}\\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} $$
对应(1)式，有： $$ \ket{\phi_1^\perp}=\ket{\phi_2^\perp}=\ket{\phi_3^\perp}\doteq\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{3}\\ 0 \end{bmatrix} $$ $$ \ket{\phi_4^\perp}\doteq\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} $$
代回(2)式，得到： $$ \ket{\phi_1},\ket{\phi_2},\ket{\phi_3},\ket{\phi_4}\doteq\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{6}}{3}\\ \frac{\sqrt{3}}{3}\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{6}}{6}\\ \frac{\sqrt{3}}{3}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}\\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{6}}{6}\\ \frac{\sqrt{3}}{3}\\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} $$
单比特的POVM测量
引入一组三维单位矢量\(\{\vec{n}_a\}\)和\(\{\lambda_a\}\)，满足： $$ \sum_a\lambda_a\vec{n}_a=0 $$ $$ \sum_a\lambda_a=1, (\lambda_a\in(0,1)) $$
于是可以定义一组广义测量算符\(\{\hat{F}_a\}\)： $$ \hat{F}_a=\lambda_a(1+\vec{n}_a\hat{\sigma})=2\lambda_a\hat{E}(\vec{n}_a) $$
其中， $$ \hat{E}(\vec{n}_a)=\ket{\vec{n}_a,+}\bra{\vec{n}_a,+} $$
验证算符的归一性： $$ \sum_a\hat{F}_a=\sum_a\lambda_a+\sum_a\lambda_a\vec{n}_a\hat{\sigma}=1 $$