本文主要讨论量子力学绘景。

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表象变换下的量子力学动力学方程

一般的我们有： $$ i\hbar\partial_t\ket{\psi}=\hat{H}\ket{\psi} $$

假设在坐标变换下有 $$ \ket{\psi’}=\hat{V}\ket{\psi} $$

代入动力学方程有： $$\begin{align} i\hbar\partial_t\ket{\psi’}&=i\hbar\partial_t\hat{V}\ket{\psi}\\ &=i\hbar(\partial_t\hat{V})\ket{\psi}+i\hbar\hat{V}\partial_t\ket{\psi}\\ &=i\hbar(\partial_t\hat{V})\hat{V}^\dagger\ket{\psi’}+\hat{V}\hat{H}\hat{V}^\dagger\ket{\psi’}\\ &=-i\hbar\hat{V}(\partial_t\hat{V}^\dagger)\ket{\psi’}+\hat{V}\hat{H}\hat{V}^\dagger\ket{\psi’} \end{align} $$

上式最后一步用到了如下结论： $$ (\partial_t\hat{V})\hat{V}^\dagger+\hat{V}(\partial_t\hat{V}^\dagger)=\partial_t(\hat{V}\hat{V}^\dagger)=0 $$

于是表象变换下的量子力学动力学方程可以写成： $$ i\hbar\partial_t\ket{\psi’}=\hat{H’}\ket{\psi’}\tag{1} $$

其中 $$\begin{align} \hat{H’}&=i\hbar(\partial_t\hat{V})\hat{V}^\dagger+\hat{V}\hat{H}\hat{V}^\dagger\\ &=-i\hbar\hat{V}(\partial_t\hat{V}^\dagger)+\hat{V}\hat{H}\hat{V}^\dagger \end{align} $$

从Schrödinger绘景到Heisenberg绘景

  不难看出，(1)式中，令\(\hat{V}=\hat{I}\)即为Schrödinger绘景。

  Heisenberg绘景中，态不随时间变化，因此有 $$ \hat{H’}=-i\hbar\hat{V}(\partial_t\hat{V}^\dagger)+\hat{V}\hat{H}\hat{V}^\dagger=0 $$

于是得到： $$ i\hbar\partial_t\hat{V}^\dagger=\hat{H}\hat{V}^\dagger $$

这个结果并不能很明显地看出\(\hat{V}\)是什么。引入时间演化算符\(\hat{U}(t_1,t_0)\)，Schrödinger方程可以写成： $$ i\hbar\partial_t\hat{U}(t_1,t_0)\ket{\psi(t_0)}=\hat{H}\hat{U}(t_1,t_0)\ket{\psi(t_0)} $$

于是，类比之下可以得到： $$ \hat{V}=\hat{U}(t_1,t_0)^\dagger $$

相互作用绘景

  假设系统状态为\(\ket{\psi}\)，Hamilton量可以分成含时与不含时两个部分：

$$ \hat{H}=\hat{H}_0+\hat{H}_1(t) $$

定义 $$ \ket{\psi_I(t)}=\exp({i\frac{\hat{H}_0}{\hbar}t})\ket{\psi(t)} $$

于是有 $$ i\hbar\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\ket{\psi_I(t)}=\hat{H}_I(t)\ket{\psi_I(t)}\tag{2} $$

其中 $$ \hat{H}_I(t)=\exp({i\frac{\hat{H}_0}{\hbar}t})\hat{H}_1(t)\exp({-i\frac{\hat{H}_0}{\hbar}t}) $$

(2)式即表示\(\ket{\psi_I(t)}\)在相互作用绘景下的演化。