CHSH不等式
本文主要讨论CHSH不等式，算是Bell不等式的升级版吧。
相关文献：
先蹭个热度。
EPR佯谬
以Bell态为例，对于处于\(\ket{\Psi^+}\)的两个纠缠粒子
$$ \ket{\Psi^+}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{01}+\ket{10}) $$
如果将其放置于相隔很远很远的两地，Alice对粒子1进行测量，则粒子状态将坍缩： $$ \ket{\Psi^+}\longrightarrow\ket{01}\ \text{or}\ \ket{10} $$
于是Alice能立即根据测量结果确定粒子2的状态。而且如果Bob对粒子2进行测量，就能根据测量结果直接确定系统此时的态，也就知道Alice的测量结果。考虑到不论Alice和Bob相隔多远，Bob都能通过测量立刻知道结果，那么说明量子纠缠能超光速传递信息。
这是当年Einstein和其他两位科学家提出的EPR佯谬，不过当时他们提出的纠缠态就是通过坐标纠缠，体系的能量将趋向无穷，现实中并不存在。
Suppose that A and B are spacelike separated systems. Then in a complete description of physical reality an action performed on system A must not modify the description of system B.
—— Einstein关于超光速作用的观点
Einstein坚持认为这证明了量子力学的不完备性。他坚持决定论的观点，认为类空分开、无相互作用的两个粒子的状态分别由各自的变量确定，且各自的变量不能影响其他粒子的状态。量子力学认为世界是随机的，那是因为现有的理论和技术还不能发现隐变量。此即局域隐变量假设。
CHSH不等式
历史上Bell首先从局域隐变量假设出发，写出了Bell不等式，之后Clauser等人提出CHSH不等式，这个式子在更容易应用于实验检验。
假设信道两端分别有一个观测者Alice和Bob，对各自的粒子实施两种测量中的一种。 $$ \text{Alice}\bullet—————————–\bullet\text{Bob} $$
Alice的测量： $$ \hat{A}_1=\vec{n}_1\hat{\sigma}\ \text{or}\ \hat{A}_2=\vec{n}_2\hat{\sigma} $$
Bob的测量： $$ \hat{B}_1=\vec{m}_1\hat{\sigma}\ \text{or}\ \hat{B}_2=\vec{m}_2\hat{\sigma} $$
\(\vec{n}\hat{\sigma}\)表示沿\(\vec{n}\)测量\(\hat{\sigma}\)，\(\vec{n}\)是单位向量。
于是有： $$ \langle\hat{A}_1\otimes\hat{B}_1\rangle=\sum_{a_1=\pm1}\sum_{b_1=\pm1}a_1b_1\mathrm{P}(a_1,b_1) $$
$$ \langle\hat{A}_1\otimes\hat{B}_2\rangle=\sum_{a_1=\pm1}\sum_{b_2=\pm1}a_1b_2\mathrm{P}(a_1,b_2) $$
$$ \langle\hat{A}_2\otimes\hat{B}_1\rangle=\sum_{a_2=\pm1}\sum_{b_1=\pm1}a_2b_1\mathrm{P}(a_2,b_1) $$
$$ \langle\hat{A}_2\otimes\hat{B}_2\rangle=\sum_{a_2=\pm1}\sum_{b_2=\pm1}a_2b_2\mathrm{P}(a_2,b_2) $$
假设隐变量为\(\xi\equiv(\xi_1,\xi_2)\)，\(\xi_1,\xi_2\)分别对应粒子1和粒子2的隐变量。
于是有 $$ \mathrm{P}(a_i,b_j)=\sum_\xi\mathrm{P}(a_i|\xi)\mathrm{P}(b_j|\xi)\mathrm{P}(\xi) $$
定义\(B\) $$\begin{align} B=&\quad\langle\hat{A}_1\otimes\hat{B}_1\rangle+\langle\hat{A}_1\otimes\hat{B}_2\rangle+\langle\hat{A}_2\otimes\hat{B}_1\rangle-\langle\hat{A}_2\otimes\hat{B}_2\rangle\\ =&\quad\sum_{a_1=\pm1}\sum_{b_1=\pm1}a_1b_1\sum_\xi\mathrm{P}(a_1|\xi)\mathrm{P}(b_1|\xi)\mathrm{P}(\xi)\\ &+\sum_{a_1=\pm1}\sum_{b_2=\pm1}a_1b_2\sum_\xi\mathrm{P}(a_1|\xi)\mathrm{P}(b_2|\xi)\mathrm{P}(\xi)\\ &+\sum_{a_2=\pm1}\sum_{b_1=\pm1}a_2b_1\sum_\xi\mathrm{P}(a_2|\xi)\mathrm{P}(b_1|\xi)\mathrm{P}(\xi)\\ &-\sum_{a_2=\pm1}\sum_{b_2=\pm1}a_2b_2\sum_\xi\mathrm{P}(a_2|\xi)\mathrm{P}(b_2|\xi)\mathrm{P}(\xi) \end{align}$$
可以将\(\sum_\xi\)和\(\sum_{a_i=\pm1}\sum_{b_i=\pm1}\)交换次序： $$\begin{align} B=\sum_\xi\mathrm{P}(\xi)[&\sum_{a_1=\pm1}a_1\mathrm{P}(a_1|\xi)\sum_{b_1=\pm1}b_1\mathrm{P}(b_1|\xi)\\ +&\sum_{a_1=\pm1}a_1\mathrm{P}(a_1|\xi)\sum_{b_2=\pm1}b_2\mathrm{P}(b_2|\xi)\\ +&\sum_{a_2=\pm1}a_2\mathrm{P}(a_2|\xi)\sum_{b_1=\pm1}b_1\mathrm{P}(b_1|\xi)\\ -&\sum_{a_2=\pm1}a_2\mathrm{P}(a_2|\xi)\sum_{b_2=\pm1}b_2\mathrm{P}(b_2|\xi)] \end{align}$$
定义 $$ X_1=\sum_{a_1}a_1\mathrm{P}(a_1|\xi)\in[-1,1] $$
$$ X_2=\sum_{a_2}a_2\mathrm{P}(a_2|\xi)\in[-1,1] $$
$$ Y_1=\sum_{b_1}b_1\mathrm{P}(b_1|\xi)\in[-1,1] $$
$$ Y_1=\sum_{b_2}b_2\mathrm{P}(b_2|\xi)\in[-1,1] $$
于是有： $$ B=\sum_\xi\mathrm{P}(\xi)\left[X_1Y_1+X_1Y_2+X_2Y_1-X_2Y_2\right] $$
两边取绝对值，再由不等式： $$ \left|\sum_\xi A_\xi B_\xi\right|\le\sum_\xi|A_\xi||B_\xi| $$
于是有： $$\begin{align} |B|&=\left|\sum_\xi\mathrm{P}(\xi)\left[X_1Y_1+X_1Y_2+X_2Y_1-X_2Y_2\right]\right|\\ &\le|X_1||Y_1+Y_2|+|X_2||Y_1-Y_2|\\ &\le|Y_1+Y_2|+|Y_1-Y_2|\\ &\le2 \end{align}$$
得到 $$ \boxed{\left|\langle\hat{A}_1\otimes\hat{B}_1\rangle+\langle\hat{A}_1\otimes\hat{B}_2\rangle+\langle\hat{A}_2\otimes\hat{B}_1\rangle-\langle\hat{A}_2\otimes\hat{B}_2\rangle\right|\le2} $$
即CHSH不等式。