图态两种定义等价的证明
图态两种定义等价的证明。
图态的算符定义：
在图\(G=(V,E)\)中对于\(\forall a\in V\) $$ K_G^{(a)}\ket{G}=\ket{G} $$
其中\(K_G^{(a)}\)是稳定子： $$ K_G^{(a)}=\sigma_x^{(a)}\prod_{b\in N_a}\sigma_z^{(b)} $$
图态的操作定义：
$$ \ket{G}=\prod_{(a,b)\in E}U^{(a,b)}\ket{+}^{\otimes V} $$
其中 $$ U^{(a,b)}=P_{z,+}^{(a)}\otimes\mathbb{1}^{(b)}+P_{z,-}^{(a)}\otimes\sigma_{z}^{(b)}=U^{(a,b)^\dagger} $$
$$ P_{z,\pm}^{(a)}=\frac{1\pm\sigma_z^{(a)}}{2} $$
引理 1
$$\begin{align} \forall c\in V-\{a,b\}\\ [K_G^{(c)},U^{(a,b)}]=0 \end{align}$$
引理 2
$$ U^{(a,b)}K_G^{(a)}U^{(a,b)^\dagger}=\sigma_z^{(b)}K_G^{(a)} $$
由引理2得到推论： $$ K_G^{(a)}U^{(a,b)}=U^{(a,b)}\sigma_z^{(b)}K_G^{(a)} $$
下面证明两种定义等价： $$\begin{align} K_G^{(a)}\ket{G}&=K_G^{(a)}\prod_{(b,c)\in E}U^{(b,c)}\ket{+}^{\otimes V}\\ &=\prod_{(b,c)\in E}U^{(b,c)}\prod_{d\in N_a}\sigma_z^{(d)}K_G^{(a)}\ket{+}^{\otimes V}\\ &=\prod_{(b,c)\in E}U^{(b,c)}\sigma_x^{(a)}\ket{+}^{\otimes V}\\ &=\prod_{(b,c)\in E}U^{(b,c)}\ket{+}^{\otimes V}\\ &=\ket{G} \end{align}$$
因此两种定义等价。
引理的证明参考：
- Hein, Marc, Jens Eisert, and Hans J. Briegel. “Multiparty entanglement in graph states.” Physical Review A 69.6 (2004): 062311.