本文主要讨论Sneddon公式和Hausdorff公式的证明与应用。

10.20 增加了Glauber公式的证明。

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Sneddon 公式

考察如下算符的变化 $$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e^{\hat{A}(t)}&=\sum^\infty_{m=0}\frac{1}{m!}\frac{\mathrm{d}\hat{A}^m}{\mathrm{d}t}\\ &=\sum^\infty_{m=0}\frac{1}{(m+1)!}\sum^m_{k=0}\hat{A}^k\partial_t\hat{A}\hat{A}^{m-k}\\ &=\sum_{n,k}\frac{1}{(n+k+1)!}\hat{A}^k\partial_t\hat{A}\hat{A}^n\tag{1} \end{align}$$

这个式子比较难算，构造积分 $$\begin{align} \int^1_0e^{u\hat{A}}\partial_t\hat{A}e^{(1-u)\hat{A}}\mathrm{d}u&=\sum_{n,m}\int_0^1\frac{u^n\hat{A}^n}{n!}\partial_t\hat{A}\frac{(1-u)^m\hat{A}^m}{m!}\mathrm{d}u\\ &=\sum_{n,m}\frac{1}{n!m!}\hat{A}^n\partial_t\hat{A}\hat{A}^m\int_0^1u^n(1-u)^m\mathrm{d}u\tag{2} \end{align}$$

由Beta函数 $$ B(\alpha,\beta)=\int_0^1x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\mathrm{d}x=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)} $$

于是(2)式可以写成 $$\begin{align} \int^1_0e^{u\hat{A}}\partial_t\hat{A}e^{(1-u)\hat{A}}\mathrm{d}u&=\sum_{n,m}\frac{1}{n!m!}\hat{A}^n\partial_t\hat{A}\hat{A}^m\frac{(n+1)!(m+1)!}{(n+m+2)!}\\ &=\sum_{n,m}\frac{1}{(n+m+1)!}\hat{A}^n\partial_t\hat{A}\hat{A}^m \end{align}$$

与(1)式对照，于是有 $$\boxed{\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e^{\hat{A}(t)}&=\left(\int^1_0e^{u\hat{A}}\partial_t\hat{A}e^{-u\hat{A}}\mathrm{d}u\right)e^{\hat{A}(t)} \end{align}}$$

被称为Sneddon公式。

Hausdorff 公式的证明

  构造函数 $$ f(x)=e^{\hat{B}x}\hat{A}e^{-\hat{B}x} $$

对\(x\)求导得 $$\begin{align} \frac{\partial f}{\partial x}&=\frac{\partial}{\partial x}e^{\hat{B}x}\hat{A}e^{-\hat{B}x}\\ &=\partial_xe^{\hat{B}x}\hat{A}e^{-\hat{B}x}+e^{\hat{B}x}\partial_x\hat{A}e^{-\hat{B}x}+e^{\hat{B}x}\hat{A}\partial_x e^{-\hat{B}x}\\ &=\hat{B}f(x)-f(x)\hat{B}\\ &=[\hat{B},f(x)] \end{align}$$

于是有 $$\begin{align} f(x)=&f(0)+\int^x_0[\hat{B},f(x’)]\mathrm{d}x’\\ =&\hat{A}+\int^x_0[\hat{B},f(x’)]\mathrm{d}x’\\ =&\hat{A}+\int^x_0[\hat{B},\hat{A}+\int^{x’}_0[\hat{B},f(x’’)]\mathrm{d}x’’]\mathrm{d}x’\\ =&\hat{A}+\int^x_0[\hat{B},\hat{A}]\mathrm{d}x’+\int^x_0[\hat{B},\int^{x’}_0[\hat{B},f(x’’)]\mathrm{d}x’’]\mathrm{d}x’\\ =&\hat{A}+\int^x_0[\hat{B},\hat{A}]\mathrm{d}x’+\int^x_0\int^{x’}_0[\hat{B},[\hat{B},f(x’’)]]\mathrm{d}x’’\mathrm{d}x’\\ =&\hat{A}+[\hat{B},\hat{A}]\int^x_0\mathrm{d}x’+[\hat{B},[\hat{B},\hat{A}]]\int^x_0\int^{x’}_0\mathrm{d}x’’\mathrm{d}x’\\ &\quad+[\hat{B},[\hat{B},[\hat{B},\hat{A}]]]\int^x_0\int^{x’}_0\int^{x’’}_0\mathrm{d}x’’’\mathrm{d}x’’\mathrm{d}x’+\dots \end{align}$$

对于\(f(1)\)，可以得到 $$\boxed{\begin{align} e^{\hat{B}}\hat{A}e^{-\hat{B}}=&\hat{A}+[\hat{B},\hat{A}]+\frac{1}{2}[\hat{B},[\hat{B},\hat{A}]]+\frac{1}{3!}[\hat{B},[\hat{B},[\hat{B},\hat{A}]]]+\dots\\ &\quad+\frac{1}{n!}[\hat{B},[\hat{B},[\dots[\hat{B},[\hat{B},\hat{A}]]\dots]]]+\dots \end{align}}$$

即Hausdorff公式。

几个例子

1. \(e^{i\omega t\hat{a}\dagger\hat{a}}\hat{a}e^{-i\omega t\hat{a}\dagger\hat{a}}\)

代入Hausdorff公式有 $$ \frac{1}{n!}[\hat{B},[\hat{B},[\dots[\hat{B},[\hat{B},\hat{A}]]\dots]]]=\frac{1}{n!}(-i\omega t)^n\hat{a} $$

于是有 $$\begin{align} e^{i\omega t\hat{a}\dagger\hat{a}}\hat{a}e^{-i\omega t\hat{a}\dagger\hat{a}}&=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{1}{n!}(-i\omega t)^n\hat{a}\\ &=e^{-i\omega t}\hat{a} \end{align}$$

2. \(e^{i\theta\hat{J}_z} \hat{J}_+e^{-i\theta\hat{J}_z}\)

代入Hausdorff公式有 $$ \frac{1}{n!}[\hat{B},[\hat{B},[\dots[\hat{B},[\hat{B},\hat{A}]]\dots]]]=\frac{1}{n!}(-i\theta\hat{J}_z)^n\hat{J}_+ $$

于是有 $$\begin{align} e^{i\theta\hat{J}_z} \hat{J}_+e^{-i\theta\hat{J}_z}&=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{1}{n!}(-i\theta\hat{J}_z)^n\hat{J}_{+}\\ &=e^{-i\theta\hat{J}_z}\hat{J}_{+} \end{align}$$

Glauber 公式

  考虑特殊情况： $$ [\hat{A},[\hat{A},\hat{B}]]=0,\quad[\hat{B},[\hat{A},\hat{B}]]=0 $$

构造： $$ e^{\lambda\hat{A}+\lambda\hat{B}}=e^{\lambda\hat{A}}e^{\lambda\hat{B}}\underbrace{e^{-\lambda\hat{B}}e^{-\lambda\hat{A}}e^{\lambda\hat{A}+\lambda\hat{B}}}_{G(\lambda)=e^{F(\lambda)}} $$

对\(G(\lambda)\)求导： $$\begin{align} \frac{\mathrm{d}G(\lambda)}{\mathrm{d}\lambda}&=\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}\lambda}\frac{\mathrm{d}G(\lambda)}{\mathrm{d}F}=\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}\lambda}G\\ &=-\hat{B}G-e^{\lambda\hat{B}}\hat{A}e^{-\lambda\hat{A}}e^{\lambda\hat{A}+\lambda\hat{B}}+e^{-\lambda\hat{B}}e^{-\lambda\hat{A}}(\hat{A}+\hat{B})e^{\lambda\hat{A}+\lambda\hat{B}}\\ &=-\hat{B}G+e^{-\lambda\hat{B}}e^{-\lambda\hat{A}}\hat{B}e^{\lambda\hat{A}+\lambda\hat{B}} \end{align}$$

于是有： $$\begin{align} \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}\lambda}&=-\hat{B}+e^{-\lambda\hat{B}}e^{-\lambda\hat{A}}\hat{B}e^{\lambda\hat{A}}e^{\lambda\hat{B}}\\ &=-\hat{B}+e^{-\lambda\hat{B}}\left(\hat{B}-\lambda[\hat{A},\hat{B}]+\frac{(-\lambda)^2}{2}[\hat{A},[\hat{A},\hat{B}]]+\dots\right)e^{\lambda\hat{B}}\\ &=-\lambda[\hat{A},\hat{B}] \end{align}$$

于是可以直接写出\(F(\lambda)\)： $$ F(\lambda)=F(0)-\frac{\lambda^2}{2}[\hat{A},\hat{B}] $$

对于\(\lambda=1\)有： $$ F(1)=-\frac{[\hat{A},\hat{B}]}{2} $$

于是有： $$ \boxed{e^{\hat{A}+\hat{B}}=e^\hat{A}e^\hat{B}e^{-\frac{[\hat{A},\hat{B}]}{2}}} $$

被称为Glauber公式。