本文讨论Josephson Junction。

  感觉国内的一些教材写的太乱了，索性自己整理一下，并不会面面俱到。

  原则上是应该配点图的，但是画图太麻烦了。

  本文取电子电荷为\(-e\)。

1. Josephson 方程

  Josephson 方程是一个唯象方程。假设Josephson结两端超导体的波函数分别为\(\Psi_1\),\(\Psi_2\)，当两部分超导体靠的很近的时候，会发生耦合，耦合强度用\(K\)表示，写成Schrödinger方程的形式，即： $$ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi_1=E_1\Psi_1+K\Psi_2 $$

$$ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi_2=E_2\Psi_2+K\Psi_1 $$

将\(\Psi_1=\sqrt{\rho_1}e^{i\theta_1}\),\(\Psi_2=\sqrt{\rho_2}e^{i\theta_2}\),\(\varphi=\theta_2-\theta_1\)代入，得到： $$\left\{ \begin{aligned} \hbar\frac{\partial\rho_1}{\partial t}&=2K\sqrt{\rho_1\rho_2}\sin\varphi \\ \hbar\frac{\partial\rho_2}{\partial t}&=-2K\sqrt{\rho_1\rho_2}\sin\varphi \\ \hbar\frac{\partial\theta_1}{\partial t}&=-K\sqrt{\frac{\rho_2}{\rho_1}}\cos\varphi-E_1 \\ \hbar\frac{\partial\theta_2}{\partial t}&=-K\sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}}\cos\varphi-E_2 \end{aligned} \right.$$

注意到： $$ 2e\frac{\partial\rho_1}{\partial t}=-2e\frac{\partial\rho_2}{\partial t}=j_s=j_c\sin\varphi $$

其中， $$ j_c=\frac{4eK}{\hbar}\sqrt{\rho_1\rho_2} $$

物理上这也是合理的，因为两端超导体中的Cooper对总量应该不变。

  关于\(\varphi\)，我们也能得到一个方程： $$ \frac{\partial \varphi}{\partial t}=-\frac{K}{\hbar}\frac{\rho_1-\rho_2}{\sqrt{\rho_1\rho_2}}\cos\varphi+\omega_{12} $$   其中， $$ \omega_{12}\equiv\frac{E_1-E_2}{\hbar} $$

对于弱耦合情况，由于\(K\)很小，而且不同金属内的Cooper对密度都差不多，\(\rho_1\approx\rho_2\)。上式简化为： $$ \frac{\partial \varphi}{\partial t}=\omega_{12} $$

  因此Josephson结两端的能量差能引起波函数相位差随时间变化，现实中最常见的做法是在两端加一个电压，于是有 $$ \frac{\partial \varphi}{\partial t}=-\frac{2e}{\hbar}V $$

  总结下来，Josephson方程为： $$\boxed{ \begin{aligned} j_s=j_c\sin\varphi \\ \frac{\partial\varphi}{\partial t}=-\frac{2eV}{\hbar} \end{aligned} }$$

2. Josephson结的能量量子化

2.1 先写出拉氏量和哈氏量

  实际通过Josephson结有三类：Josephson电流\(I_s\)，欧姆电流\(I_o\)和位移电流\(I_d\)，以电势从高到低为正方向即： $$ I=I_s+I_o-I_d $$

各个电流的大小近似有： $$ I_s=I_c\sin\varphi $$ $$ I_d=C\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} $$ $$ I_o=\frac{V}{R} $$

  忽略欧姆电流的贡献，考虑Josephson结并联电感\(C\)的模型，总电流为\(I\)，写出描述相位差的方程： $$ \frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}t^2}=-\frac{2e}{\hbar}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=-\frac{2e}{C\hbar}\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-\frac{2e}{C\hbar}(I_s\sin\varphi-I) $$

类比Lagrange方程，写出拉氏量（或者类比牛顿运动方程凑）和动能、势能： $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\varphi}}-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\varphi}=0 $$ $$\boxed{ \mathcal{L}=\frac{1}{2}\frac{C\hbar^2}{4e^2}\dot{\varphi}^2+\frac{I\hbar}{2e}\varphi+\frac{I_s\hbar}{2e}\cos\varphi}\equiv K-U $$ $$ K=\frac{1}{2}\frac{C\hbar^2}{4e^2}\dot{\varphi}^2=\frac{1}{2}CV^2 $$ $$ U=-\frac{I\hbar}{2e}\varphi-\frac{I_s\hbar}{2e}\cos\varphi $$

为了得到哈氏量，取广义动量，做Legendre变换： $$ \pi=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\varphi}}=\frac{C\hbar^2}{4e^2}\dot{\varphi}=-\frac{CV\hbar}{2e}=-\frac{Q\hbar}{2e}=\hbar N $$ $$\boxed{ \mathcal{H}=\pi\dot{\varphi}-\mathcal{L}=\frac{E_C}{\hbar^2}\pi^2-E_J\cos\varphi-E_J\frac{I}{I_c}\varphi }$$

其中，\(N\)是电感\(C\)上在高电势一侧的Cooper对数量，\(E_C,E_J\)分别为库伦能和约瑟夫森能： $$ E_C=\frac{(2e)^2}{2C}, E_J=\frac{I_c\hbar}{2e}=\frac{I_c\phi_0}{2\pi} $$

2.2 第一次量子化

  从广义坐标和广义动量的对易关系出发： $$ [\hat{\varphi},\hat{\pi}]=i\hbar $$

推导出\(\hat{\varphi}\)和\(\hat{N}\)的对易关系： $$ [\hat{\varphi},\hat{N}]=i $$

哈氏量写成： $$ \mathcal{H}=E_C\hat{N}^2-E_J\cos\hat{\varphi}-E_J\frac{I}{I_c}\hat{\varphi} $$

在\(\varphi\)表象下就有： $$ \hat{N}=-i\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\varphi} $$ $$ \mathcal{H}=-E_C\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}\varphi^2}-E_J\cos\varphi-E_J\frac{I}{I_c}\varphi $$

3. SQUID

  全名 “Superconducting Quantum Interference Device”，就是回路里放了Josephson结；比较常见的是两个结并联的情况。

  关于这种结构的SQUID，两个Josephson结的\(\varphi\)之差有如下关系： $$ \varphi_2-\varphi_1=2\pi\frac{\Phi_L}{\phi_0} (\bmod 2\pi) $$

其中，\(\Phi_L\)是环路的类磁通： $$ \Phi_L=\oint\left[\boldsymbol{A}+\mu_0\lambda_L^2\boldsymbol{j}\right]\mathrm{d}\boldsymbol{l} $$

对于实验中超导体尺度大于穿透深度的情况，可以在超导体中取一条超导电流近似为0的积分环路，于是可以将\(\varphi\)之差中的类磁通写成磁通量： $$ \varphi_2-\varphi_1=2\pi\frac{\Phi_B}{\phi_0}(\bmod 2\pi) $$

磁通量可分成外加磁场（\(\Phi_{\mathrm{ext}}\)）和环电流的磁效应（被称为自场效应）两部分的贡献，并假设两个Josephson结的结构完全一样，即\(I_c\)相同： $$ \begin{align} \Phi_B=\Phi_{\mathrm{ext}}+LI_{\text{loop}}&=\Phi_{\mathrm{ext}}+\frac{L}{2}(I_1-I_2)\\ &=\Phi_{\mathrm{ext}}+\frac{LI_c}{2}(\sin\varphi_1-\sin\varphi_2)\\ &=\Phi_{\mathrm{ext}}+LI_c\cos\frac{\varphi_1+\varphi_2}{2}\sin\frac{\varphi_1-\varphi_2}{2} \end{align}$$

于是有： $$ \Phi_{\mathrm{ext}}=\Phi_B+LI_c\sin\left(\pi\frac{\Phi_B}{\phi_0}\right)\cos\varphi $$ $$ \varphi\equiv\frac{\varphi_1+\varphi_2}{2} $$

接下来的推导忽略环电流的磁效应（即自场效应）。于是SQUID的总电流为： $$ \begin{align} I&=I_c(\sin\varphi_1+\sin\varphi_2)\\ &=2I_c\sin\frac{\varphi_1+\varphi_2}{2}\cos\frac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\\ &=I_c(\Phi_B)\sin\varphi \end{align} $$

其中， $$ I_c(\Phi_B)=2I_c\cos\left(\pi\frac{\Phi_B}{\phi_0}\right) $$

考察\(\varphi\)随时间的变化，依据Josephson方程有： $$ \dot{\varphi}=-\frac{e}{\hbar}(V_1+V_2) $$

  因此，在忽略自场效应的情况下，SQUID能看成一个Josephson结（实际上是忽略两个Josephson结之间的耦合）。能量是标量，原则上能相加，因此其库伦能和约瑟夫森能分别为： $$ E_C=2\frac{(2e)^2}{2C}, E_J=\frac{I_c\phi_0}{2\pi}=\frac{\hbar}{2e}I_c(\Phi_B) $$

  这种结构得到的“Josephson结”的约瑟夫森能是可以通过外加磁场控制的，这是和单个Josephson结相比最大的优点。

4. Charge Qubit

4.1 先写出拉氏量和哈氏量

  考虑一个Josephson结串联一个电感\(C_g\)，并在电感一侧加一个偏置电压\(V_g\)，Josephson结和电感上的电荷分别为\(Q_J,Q_g\)。

  参照单个Josephson结的拉氏量，我们只需在动能项中增加存储在电感内的能量即可： $$\begin{align} \mathcal{L}&=\frac{1}{2}\frac{C_J\hbar^2}{4e^2}\dot{\varphi}^2+\frac{1}{2}C_g(V_g-V_J)^2+\frac{I\hbar}{2e}\varphi+\frac{I_s\hbar}{2e}\cos\varphi\\ &=\frac{1}{2}\frac{C_J\hbar^2}{4e^2}\dot{\varphi}^2+\frac{1}{2}C_g(V_g+\frac{\hbar}{2e}\dot{\varphi})^2 +\frac{I\hbar}{2e}\varphi+\frac{I_s\hbar}{2e}\cos\varphi \end{align}$$

这里用了Josephson方程中的电压与相位差的关系。

  然后就是老套路，先算广义动量： $$\begin{align} \pi=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\varphi}}&=(C_J+C_g)\left(\frac{\hbar}{2e}\right)^2\dot{\varphi}+\frac{\hbar}{2e}C_gV_g\\ &=-\frac{\hbar}{2e}[(C_J+C_g)V_J-C_gV_g]\\ &=-\frac{\hbar}{2e}(Q_J-Q_g)=\hbar N \end{align}$$

对照电路图看不难发现，半个Josephson结和半个电感组成的电荷岛上的总电荷为\(Q_J-Q_g\)，这个结构被称为Cooper Pair Box，简称CPB，因此\(N\)就是CPB上Cooper对的个数。

  通过Legendre变换得到哈氏量： $$\begin{align} \mathcal{H}&=\pi\dot{\varphi}-\mathcal{L}\\ &=\frac{1}{2}\frac{1}{C_J+C_g}\left(\frac{2e}{\hbar}\right)^2\left(\pi-\frac{\hbar}{2e}C_gV_g\right)^2-E_J\cos\varphi-E_J\frac{I}{I_c}\varphi\\ &=\frac{1}{2}\frac{(2e)^2}{C_J+C_g}(N-N_g)^2-E_J\cos\varphi-E_J\frac{I}{I_c}\varphi\\ &=E_C(N-N_g)^2-E_J\cos\varphi-E_J\frac{I}{I_c}\varphi \end{align}$$

其中， $$ N_g\equiv\frac{C_gV_g}{2e} $$ $$ E_C=\frac{(2e)^2}{2C_\Sigma} $$ $$ C_\Sigma=C_J+C_g $$

对照前面库伦能的定义，发现这里的定义和之前Josephson结中的定义是一致的。

  如果考虑电路中总电流很小的情况，就是\(I\approx0\)，那么哈氏量还能化简： $$ \boxed{\mathcal{H}=E_C(N-N_g)^2-E_J\cos\varphi} $$

4.2 能级

  上面这个哈氏量在\(\varphi\)表象下可以求解，Schrödinger方程能写成： $$ \left[E_C\left(-i\frac{\partial}{\partial\varphi}-N_g\right)^2-E_J\cos\varphi\right]\ket{\Psi}=E\ket{\Psi} $$ 可以变形为马丢方程的形式，最终得到的解也含有马丢函数。(还是写一下吧)在\(N_g\in[0,1/2)\)的情况下有： $$ \Psi_m(\varphi)=\frac{e^{iN_g\varphi}}{\sqrt{2\pi}}\left[\text{ce}_{4E_m/E_C}\left(-\frac{2E_J}{E_C},\frac{\varphi}{2}\right)+i(-1)^{m+1}\text{se}_{4E_m/E_C}\left(-\frac{2E_J}{E_C},\frac{\varphi}{2}\right)\right] $$

但是，波函数包含的信息并不多，我们更关注能级。

  能量本征值是： $$ E_m(N_g\bmod 1)=\begin{cases} \frac{E_C}{4}a_\nu\left(-2E_J/E_C\right),&N_g\bmod 1\in[0,1/2)\\ E_m(1-N_g\bmod 1),&N_g\bmod 1\in[1/2,1) \end{cases} $$

其中，\(m\in\mathbb{N}\)；\(a_\nu(q)\)是马丢方程的一个特征值，满足\(a_\nu(0)=\nu^2\)。\(\nu\)是能级\(m\)的函数： $$ \nu=m+1-(m+1)\bmod2+2N_g(-1)^m $$

用Mathematica画出不同\(E_J/E_C\)下的\(E_m/E_C,(m=0,1,2)\)：

代码如下（有点辣眼睛）：

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r[m_, n_] := m + 1 - Mod[m + 1, 2] + 2 n (-1)^m

f[m_, n_, x_] := If[Mod[n, 1] <= 1/2, MathieuCharacteristicA[r[m, Mod[n, 1]], -2 x], MathieuCharacteristicA[r[m, 1 - Mod[n, 1]], -2 x]]

t1 = Plot[{f[0, n, 1], f[1, n, 1], f[2, n, 1]}, {n, -5, 5}, PlotLabel -> "\!\(\*SubscriptBox[\(E\), \(J\)]\)/\!\(\*SubscriptBox[\(E\), \(C\\)]\)=1", AxesLabel -> {"\!\(\*SubscriptBox[\(N\), \(g\)]\)",}];
t2 = Plot[{f[0, n, 3], f[1, n, 3], f[2, n, 3]}, {n, -5, 5}, PlotLabel -> "\!\(\*SubscriptBox[\(E\), \(J\)]\)/\!\(\*SubscriptBox[\(E\), \(C\\)]\)=3", AxesLabel -> {"\!\(\*SubscriptBox[\(N\), \(g\)]\)",}];
t3 = Plot[{f[0, n, 5], f[1, n, 5], f[2, n, 5]}, {n, -5, 5}, PlotLabel -> "\!\(\*SubscriptBox[\(E\), \(J\)]\)/\!\(\*SubscriptBox[\(E\), \(C\\)]\)=5", AxesLabel -> {"\!\(\*SubscriptBox[\(N\), \(g\)]\)",}];
t4 = Plot[{f[0, n, 10], f[1, n, 10], f[2, n, 10]}, {n, -5, 5}, PlotLabel -> "\!\(\*SubscriptBox[\(E\), \(J\)]\)/\!\(\*SubscriptBox[\(E\), \(C\\)]\)=10", AxesLabel -> {"\!\(\*SubscriptBox[\(N\), \(g\)]\)",}];

GraphicsGrid[{{t1, t2}, {t3, t4}}]

参考文献：

1. A. Cottet, Ph.D. thesis, Universite Paris VI, 2002.

4.3 把CPB上Cooper对的个数\(N\)当做qubit

  重新审视哈氏量，一种自然的想法就是把CPB上Cooper对的个数\(N\)当做qubit，于是可以设定： $$ E_C\gg E_J $$

实验上\(N\)在远离\(N_g\)的情况下能近似看成好量子数。在\(\ket{\hat{N}}\)基下展开，\(\hat{\varphi}\)能写成： $$ \hat{\varphi}=i\frac{\partial}{\partial N} $$

再由： $$ e^{\pm i\hat{\varphi}}\ket{\hat{N}}=\ket{\hat{N}\mp1} $$

于是能写出该表象下的哈氏量： $$ \mathcal{H}=\sum_{N\in\mathbb{Z}}\left[E_C(N-N_g)^2\ket{N}\bra{N}-\frac{E_J}{2}(\ket{N}\bra{N+1}+\ket{N}\bra{N-1})\right] $$

通过\(V_g\)调节\(N_g\)，我们能把\(\ket{N}\)和\(\ket{N+1}\)设计为简并，其他能级能量更高，忽略，因此哈氏量能写成： $$\boxed{ \mathcal{H}_{\mathrm{qubit}}=-\frac{1}{2}B_z\hat{\sigma}_z-\frac{1}{2}B_x\hat{\sigma}_x} $$

其中， $$ B_z=E_C(1-2N_g), B_x=E_J $$ $$ \hat{\sigma}_z=\ket{N}\bra{N}-\ket{N+1}\bra{N+1} $$ $$ \hat{\sigma}_x=\ket{N}\bra{N+1}+\ket{N+1}\bra{N} $$

上式和原始的哈氏量差了一个常数项。

本征值和本征态分别为： $$ E_0=-\frac{1}{2}\sqrt{B_x^2+B_z^2}, E_1=\frac{1}{2}\sqrt{B_x^2+B_z^2} $$ $$ \ket{0}=\cos\frac{\alpha}{2}\ket{N=0}+\sin\frac{\alpha}{2}\ket{N=1} $$ $$ \ket{1}=-\sin\frac{\alpha}{2}\ket{N=0}+\cos\frac{\alpha}{2}\ket{N=1} $$

其中， $$ \alpha=\arctan\frac{B_x}{B_z} $$

如果用SQUID替代Josephson结，只需要把含\(E_J\)的\(B_x\)改写一下就可以了： $$ B_z=E_C(1-2N_g), B_x=E_J\cos\left(\pi\frac{\Phi_B}{\phi_0}\right) $$

5. Flux Qubit

  基本结构如图，之前在推导SQUID的时候，有这么一个结论：如果能忽略自场效应的话，那么SQUID能看作一个Josephson结，且其约瑟夫森能\(E_J\)能通过外加磁通量\(\Phi_{\mathrm{ext}}\)改变。

  那么如果现在增加一个电感\(L\)，那么需要在哈氏量中增加储存在电感中的能量： $$\begin{align} \mathcal{H}&=\frac{1}{2}CV^2+\frac{1}{2}LI^2-E_J\cos\varphi\\ &=E_CN^2+\frac{E_L}{2}(\varphi-\varphi_{\mathrm{ext}})^2-E_J\cos\varphi \end{align}$$

其中， $$ E_C=\frac{(2e)^2}{2C},E_L=\frac{1}{L}\left(\frac{\phi_0}{2\pi}\right)^2,\varphi_{\mathrm{ext}}=\frac{2\pi\Phi_{\mathrm{ext}}}{\phi_0} $$

系统的势能为： $$ U(\varphi)=\frac{E_L}{2}(\varphi-\varphi_{\mathrm{ext}})^2-E_J\cos\varphi $$

设定： $$ E_J\gg E_C $$

并假设： $$ |E_J-E_L|\ll E_L, |\varphi_{\mathrm{ext}}-\pi|\ll1 $$

于是系统的哈氏量由势能决定。定义\(\tilde{\varphi}\equiv\varphi-\pi\in(-\pi,\pi]\)，画出势能：

  基态能级被分成\(\ket{0}=\ket{\tilde{\varphi}_+},\ket{1}=\ket{\tilde{\varphi}_-}\)两个部分。

由： $$ \begin{align} LI&=\Phi_B-\Phi_{\mathrm{ext}}\\ &=\frac{\phi_0}{2\pi}(\varphi-\varphi_{\mathrm{ext}})\\ &\approx\frac{\phi_0}{2\pi}\tilde{\varphi} \end{align} $$

因此实验上\(\ket{0}=\ket{\tilde{\varphi}_+},\ket{1}=\ket{\tilde{\varphi}_-}\)对应电流顺时针和逆时针两种状态。

  qubit等效的哈氏量为： $$ \boxed{ \mathcal{H}_{\mathrm{qubit}}=-\frac{1}{2}B_z\hat{\sigma}_z-\frac{1}{2}B_x\hat{\sigma}_x} $$

其中， $$ B_z(\varphi_{\mathrm{ext}})=2\sqrt{6\left(\frac{E_J}{E_L}-1\right)}(\varphi_{\mathrm{ext}}-\pi)E_L $$

\(B_x\)由\(E_J\)决定，因此可以通过改变\(\varphi_{\mathrm{ext}}\)控制。

6. Phase Qubit

  之前的qubit构造都尽力操控总电流\(I\approx0\)，而phase qubit则反其道而行之，引入一个电流源控制势能。回忆之前Josephson结的哈氏量，phase qubit的哈氏量能写为： $$ \mathcal{H}=-E_C\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}\varphi^2}+U(\varphi) $$

其中， $$ U(\varphi)=-E_J\left(\cos\varphi+\frac{I_{\mathrm{ext}}}{I_c}\varphi\right) $$

是一个线性势和周期振荡势的叠加。和flux qubit一样设定， $$ E_J\gg E_C $$

这样系统的总能量就由势能决定了。

  定义参数\(x\equiv\varphi-\pi/2\in(-\pi/2,3\pi/2]\)，并假设\(I_{\mathrm{ext}}\to I_c\)，势能展开有： $$ U(x)\simeq E_J\left[\left(1-\frac{I_{\mathrm{ext}}}{I_c}\right)x-\frac{x^3}{6}-\frac{I_{\mathrm{ext}}}{2I_c}\pi\right] $$

画出图来：

  每个极小值点附近都可以把势看成一个势阱，势阱的高度\(\Delta U\)为 $$ \frac{\Delta U}{E_J}=\frac{2}{3}\left[2-2\frac{I_{\mathrm{ext}}}{I_c}\right]^\frac{3}{2} $$

  势阱存在的条件是\(I_{\mathrm{ext}}<I_c\)，在实验上对应Josephson结两端的电压为0，因此phase qubit的构造是比较简单的。

  势阱内的“基态”和“第一激发态”对应\(\ket{0}\)和\(\ket{1}\)。

7. 总结

相关文献：

Charge qubit：

1. V. Bouchiat, D. Vion, P. Joyez, D. Esteve, and M. H. Devoret, Phys. Scr., T T76, 165
   1998.

Flux qubit：

1. Friedman, Jonathan R et al. “Quantum superposition of distinct macroscopic states.” Nature 406 (2000): 43-46.

Review：

1. Superconducting Qubits: A Short Review