本文主要讨论勒让德变换。写写自己的理解。

一个函数\(f(q_1,q_2,\dots,q_i,\dots)\)，对其微分： $$ \mathrm{d}f=\sum_i\frac{\partial f}{\partial q_i}\mathrm{d}q_i $$

同时不难发现： $$ \mathrm{d}\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}q_i\right)=\mathrm{d}\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\right)q_i+\frac{\partial f}{\partial q_i}\mathrm{d}q_i $$

于是有： $$\begin{align} \mathrm{d}\left(f-\frac{\partial f}{\partial q_i}q_i\right)&=\sum_i\frac{\partial f}{\partial q_i}\mathrm{d}q_i-\mathrm{d}\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\right)q_i+\frac{\partial f}{\partial q_i}\mathrm{d}q_i\\ &=\sum_{j\neq i}\frac{\partial f}{\partial q_j}\mathrm{d}q_j-q_i\mathrm{d}\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\right) \end{align}$$

于是构成了一个新函数 $$ g(q_1,q_2,\dots,\frac{\partial f}{\partial q_i},\dots)=f-\frac{\partial f}{\partial q_i}q_i $$

类似于做了一个变量代换，新函数包含了原函数的所有信息。

从拉格朗日函数到哈密顿方程

拉格朗日函数： $$ L(\vec{q},\dot{\vec{q}},t) $$

定义广义动量： $$ p_i=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i} $$

把拉格朗日函数的\(\dot{\vec{q}}\)换成\(\vec{p}\)，于是有： $$ H(\vec{q},\vec{p},t)=\sum_{i}p_i\dot{q}_i-L $$

和上面的推导相比多了一个符号，可能是历史问题。

热力学函数

$$\begin{align} &U&&\mathrm{d}U=T\mathrm{d}S-p\mathrm{d}V\\ &F=U-TS&&\mathrm{d}F=-S\mathrm{d}T-p\mathrm{d}V\\ &H=U+PV&&\mathrm{d}H=T\mathrm{d}S+V\mathrm{d}p\\ &G=H-TS&&\mathrm{d}G=-S\mathrm{d}T+V\mathrm{d}p \end{align}$$ 可以发现全是勒让德变换。

更精密的数学请参阅：

1. Arnold 《经典力学的数学方法》
2. 侯伯元，侯伯宇 《物理学家用微分几何》