Magnus Expansion 发表于: 2022-10-05 字数:263 阅读:≈ 1分钟 浏览: 本文主要讨论Magnus Expansion。 量子力学中的时间演化算符为: U^(t,t0)=T←exp[∫t0tiH^(t′)ℏdt′] T←为时序算符(time-ordering operator), 我们希望将其写成如下形式: U^(t,t0)=exp[∑n=1∞Ω^n(t,t0)] 时间演化算符满足 iℏdU^dt=H^U^ 改写上式,以便以后做微扰 iℏdU^dt=λH^U^ 并假设 U^=1+∑n=1∞λnP^n 于是得到: iℏ∑n=1∞λn∂P^n∂t=λH^U^=λH^[1+∑n=1∞λnP^n] 对λ逐项对比,得到: iℏ∂P^1∂t=H^ iℏ∂P^n∂t=H^P^n−1 即 P^1(t,t0)=−i∫t0tH^(t′)ℏdt′ P^n(t,t0)=(−i)n∫t0t…∫t0tn−1H^(t1)…H^(tn)ℏndtn…dt1 假设U^能写成: U^=exp[∑n=1∞λnΩ^n]=expΩ^ 于是有: Ω^=∑n=1∞λnΩ^n=lnU^=ln(1+∑n=1∞λnP^n)=∑nλnP^n−12∑m,n(λnP^n)(λmP^m)+13∑m,n,k(λnP^n)(λmP^m)(λkP^k) 最后一步保留三项,于是可以得到: Ω^1=P^1=−iℏ∫dtH^(t) Ω^2=P^2−12P^12=−12ℏ2∬dt1dt2[H^(t1),H^(t2)] Ω^3=P^3−12(P^1P^2+P^2P^1)+13P^13=i6ℏ3∭dt1dt2dt3([H^(t1),[H^(t2),H^(t3)]]+[[H^(t1),H^(t2)],H^(t3)]) 如果不同时刻的Hamilton量对易,则回到: U^=exp[−iℏ∫dtH^(t)]