Magnus Expansion

  本文主要讨论Magnus Expansion。


  量子力学中的时间演化算符为: U^(t,t0)=Texp[t0tiH^(t)dt]

T为时序算符(time-ordering operator),

  我们希望将其写成如下形式: U^(t,t0)=exp[n=1Ω^n(t,t0)]

  时间演化算符满足 idU^dt=H^U^

  改写上式,以便以后做微扰 idU^dt=λH^U^

并假设 U^=1+n=1λnP^n

于是得到: in=1λnP^nt=λH^U^=λH^[1+n=1λnP^n]

λ逐项对比,得到: iP^1t=H^

iP^nt=H^P^n1

P^1(t,t0)=it0tH^(t)dt

P^n(t,t0)=(i)nt0tt0tn1H^(t1)H^(tn)ndtndt1

  假设U^能写成: U^=exp[n=1λnΩ^n]=expΩ^

于是有: Ω^=n=1λnΩ^n=lnU^=ln(1+n=1λnP^n)=nλnP^n12m,n(λnP^n)(λmP^m)+13m,n,k(λnP^n)(λmP^m)(λkP^k)

  最后一步保留三项,于是可以得到: Ω^1=P^1=idtH^(t) Ω^2=P^212P^12=122dt1dt2[H^(t1),H^(t2)] Ω^3=P^312(P^1P^2+P^2P^1)+13P^13=i63dt1dt2dt3([H^(t1),[H^(t2),H^(t3)]]+[[H^(t1),H^(t2)],H^(t3)])

  如果不同时刻的Hamilton量对易,则回到: U^=exp[idtH^(t)]