Schrieffer Wolff Transformation
本文讨论Schrieffer Wolff Transformation。
Schrieffer Wolff Transformation (SW 变换) 是一种将哈密顿量准对角化的方法，就是在对角线上一块一块的矩阵，要实现全对角化也可以。
考虑一个哈密顿量\(H\)，拆成微扰项和非微扰项，其中非微扰项在其本征态表象下为对角矩阵： $$ H=H_0+\lambda H' $$
$$ H = \underbrace{\begin{bmatrix} \Box & & & & & \\ & \Box & & & & \\ & & \Box & & & \\ & & & \Box & & \\ & & & & \Box & \\ & & & & & \Box \end{bmatrix}}_\text{diagonal} + \underbrace{\begin{bmatrix} \times & \times & \times & \times & \cdot & \cdot \\ \times & \times & \times & \times & \cdot & \cdot \\ \times & \times & \times & \times & \cdot & \cdot \\ \times & \times & \times & \times & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \times & \times \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \times & \times \end{bmatrix}}_\text{perturbation} $$ 微扰项能拆成准对角化的和非对角的两部分： $$ H=H_0+\lambda (H_1+H_2) $$
$$ H = \underbrace{\begin{bmatrix} \Box & & & & & \\ & \Box & & & & \\ & & \Box & & & \\ & & & \Box & & \\ & & & & \Box & \\ & & & & & \Box \end{bmatrix}}_\text{diagonal} + \underbrace{\begin{bmatrix} \times & \times & \times & \times & \\ \times & \times & \times & \times & \\ \times & \times & \times & \times & \\ \times & \times & \times & \times & \\ & & & & \times & \times \\ & & & & \times & \times \end{bmatrix}}_\text{block diagonal} + \underbrace{\begin{bmatrix} & & & & \cdot & \cdot\\ & & & & \cdot & \cdot\\ & & & & \cdot & \cdot\\ & & & & \cdot & \cdot\\ \enspace\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & & & \\ \enspace\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & & & \end{bmatrix}}_\text{block off-diagonal} $$
我们希望通过一个幺正变换，将其准对角化，其物理意义是将一个Hilbert空间按能量高低分成高能和低能两部分。 $$ H\xrightarrow{U=e^{-S}}H_{\mathrm{eff}}=e^SHe^{-S}=\begin{bmatrix} * & * & * & * & \\ * & * & * & * & \\ * & * & * & * & \\ * & * & * & * & \\ & & & & * & * \\ & & & & * & * \end{bmatrix} $$
这么做有一个前提，就是微扰项与高能部分和低能部分的能量差\(\Delta\)相比足够小： $$ |\lambda|\le\frac{\Delta}{2||H’||} $$
由于\(e^{-S}\)幺正，有： $$ e^{-S}(e^{-S})^\dagger=e^{-S}e^{-S^\dagger}=1 $$
$$ e^{S}=e^{-S^\dagger}\to S=-S^\dagger $$ 因此\(S\)反厄米，对角线上的元素都等于0。
由Campbell-Baker-Hausdorf公式： $$ H_{\mathrm{eff}}=e^SHe^{-S}=\sum_{j=0}^\infty\frac{1}{j!}[S,H]^{(j)}\tag{1} $$ 其中，\([S,H]^{(j)}=[S,[S,H]^{(j-1)}]\)，且\([S,H]^{(0)}=H\)。
考察\([S,H_0+\lambda H_1]\)和\([S,\lambda H_2]\)，前者对角元为0，后者为对角矩阵，于是上式可以按对对角元有没有贡献拆成两部分。
先考虑\(H\)对角化的情况，除对角元外元素都是0，即： $$ H_{\mathrm{eff}}^{\mathrm{diag}}=\sum_j\frac{1}{(2j)!}[S,H_0+\lambda H_1]^{(2j)}+\frac{1}{(2j+1)!}[S,\lambda H_2]^{(2j+1)}\ne0 $$ $$ H_{\mathrm{eff}}^{\mathrm{off-diag}}=\sum_j\frac{1}{(2j+1)!}[S,H_0+\lambda H_1]^{(2j+1)}+\frac{1}{(2j)!}[S,\lambda H_2]^{(2j)}=0 $$
为了求\(S\)，将\(S\)按\(\lambda\)展开，取\(S^{(0)}=0\)： $$ S=\sum_{j=1}\lambda^j S^{(j)} $$
代回上式，有： $$ \lambda: [S^{(1)},H_0]+H_2=0 $$ $$ \lambda^2: [S^{(1)},H_1]+[S^{(2)},H_0]=0 $$ $$ \lambda^3: [S^{(3)},H_0]+[S^{(2)},H_1]+\frac{1}{3!}[S^{(1)},[S^{(1)},[S^{(1)},H_0]]]+\frac{1}{2}[S^{(1)},[S^{(1)},H_2]]=0 $$
化简一下： $$ [S^{(1)},H_0]=-H_2 $$ $$ [S^{(2)},H_0]=-[S^{(1)},H_1] $$ $$ [S^{(3)},H_0]=-[S^{(2)},H_1]-\frac{1}{3}[S^{(1)},[S^{(1)},H_2]] $$
把这些条件带回到式(1)，保留2阶近似： $$ \boxed{H_{\mathrm{eff}}=H_0+\lambda H_1+\frac{\lambda^2}{2}[H_2,S^{(1)}]} $$
在这种情况下，\(H_{\mathrm{eff}}\)是准对角化的，更精确的求解需要高阶微扰。
参考文献：
- J. R. Schrieffer and P. A. Wolff. Relation between the Anderson and Kondo Hamiltonians. Phys. Rev. 149, 491 （原始文献）
- Bravyi, S., DiVincenzo, D. P., & Loss, D. (2011). Schrieffer–Wolff transformation for quantum many-body systems. Annals of physics,326(10), 2793-2826（高阶微扰）
- https://qiskit.org/textbook/ch-quantum-hardware/cQED-JC-SW.html